Fonction antisymétrique - Fonction anti-symétrique
Définition
Soient \(E_1=\ldots=E_p=E\) et \(f:E^p\to F\) est une application \(p\)-linéaire
On dit que \(f\) est une fonction antisymétrique (ou alternée) si , pour toute permutation \(\sigma\in\mathfrak S_p\) et pour tout \(x_1,\ldots,x_p\in E\), on a : $$f(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(p)})=\operatorname{sgn}(\sigma)\cdot f(x_1,\ldots,x_p)$$
(Application multilinéaire, Permutation, Signe d'une permutation)
Calcul de la fonction
Soit \(f:E^n\to{\Bbb R}\) une fonction \(p\)-linéaire et anti-symétrique
Soit \(v_1,\ldots,v_n\in E\) avec \(v_i=\sum^n_{j=1}x_{ji}e_j\)
Alors $${{f(v_1,\ldots,v_n)}}={{f(e_1,\ldots,e_n)\cdot\operatorname{det}(X)}}$$
Caractérisation
La forme bilinéaire \(\sigma\) est antisymétrique s'il existe une base de \(E\) dans laquelle la matrice \(A\) de \(\sigma\) est antisymétrique $$A=-A^T$$
Lemmes
Lemme :
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et soit \(f:E^n\to{\Bbb R}\) une fonction \(n\)-linéaire et anti-symétrique
Si parmi \(v_1,\ldots,v_n\in E\), il y en a deux égaux, alors $$f(v_1,\ldots,v_n)=0$$
(Application multilinéaire, Fonction nulle)
Exemple
Pour \(E={\Bbb R}^3\) et \(p=2\), l'application $$f\left(\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix},\begin{pmatrix} y_1\\ y_2\\ y_3\end{pmatrix}\right)=x_1y_3-x_3y_1$$ est anti-symétrique
